Страсти по букве «Ё». От грамматики к экстремизму

«Передохнем» или «передохнём»? Лев Толстой или Лёв Толстой? Свекла или свёкла? Великий шахматист Александр Алехин или Александр Алёхин? «Все поем»? Все поём? Всё поем?